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2004.05.01

ドリームスペルに出会い遊び方を学ぶ-09

nijyumentai_f01_f02.jpg

20面体の解析にドローツールを使って挑む

綿棒の正20面体を眺めながら私は、この立体を解析するためには先ずそれを平面に展開しなければならないと思った。つまり、正3角形の一連の繋がりに切り取ることを考えたのである。

これを綿棒の正20面体を見ながら始めたのであるが、面か陵にラベルを付けなければ、ひと繋がりの展開ルートを見失ってしまう。何度試みても三角形の数が二桁台になると展開ルートが怪しくなってしまう。思考の中で展開ルートを求めたいのだが、なかなかうまくいかなかった。そんな時に、注文していた AppleWorks 6 が届いたので、直ちにインストールして見ると案の定、ドロー画面のツールバーの中に正3角形ツールをすぐ見つけることが出来た。
早速ドロー画面に正3角形の試し書きをして見ると、色つきの正3角形の作成、移動、反転、回転、拡縮が簡単に出来るので、一遍に手作業のつらい肩の荷が下りて、気分良好になったのである。
次に手作業でやっと見つけていた自信作を描いて見た。正3角形の一連の繋がりに連番の数字を書き込んで、正20面体の再構築を何度も確かめて見る。これで大丈夫らしいことはわかったが、一連の繋がりをヒモに例えれば、このヒモは不定形で対称的でもないし空白もあり、取りあえずヒモを切り出す作業の最初の記念作品とすることにし、Fig01とした。
それから取りかかったのは、正20面体表面の正3角形が4面体の底になっていることの、表現形を求めることである。そこで最初に表現したのは、正4面体の内部を底を中心にして外側に開く形である。だが、こうすると画面が非常に大きくなってしまうことが思考の妨げとなることが分かった。やはり記念的作品なのでFig02とした。
ここで気が付いたことは、正20面体の表面に見いだせる正3角形の集まりの単位が5面であって6面ではないことである。O氏がいうように6面が集まると平面になってしまうことが、実際に正20面体の展開図を書いて見るとよくわかるのである。
それはつまり、正3角形が6面集まっているウロコ模様のうち、5面を使うことがあっても決して6面を使うことはない、という風にわかるのである。もし6面を使うと、それはそのまま平面になってしまい立体にするためには必ず1面以上を欠いて5面以下にしなければならないのである。このことからも、3次元の立体はこの正20面体以上の面を持つことは出来ない、ということがわかるのではないだろうか。
なお、平面を特徴づける正3角形をすき間なく並べれば、必然的にウロコ模様が出来上がってくるので、ウロコ模様は2次元平面の特徴をよく表しているといえるとおもう。
今日はここまで。

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