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2004.06.16

正四面体の展開図は必ず平面を充填する

040615_1405.JPG

正20面体の展開図で平面を充填するものを探していたがなかなか見つからず、探索を一休みしていた。それでも頭の片隅に問題として残っていたので、微かな手ごたえに反応してはメールを出していた。メールで帰ってきた返事の中に強い手応えを感じ、Googleで検索した。

ヒットした8つのサイトの中に、 「立体の展開・正四面体の展開」 という記述を見つけてしまったのである。やはり私と同じように、立体の展開図を問題にしている人がいるのだ。しかし、そこには正四面体から始まって正八面体までしかなかった。
この記述の中に「ポリオミノ」という文字があった。たぐっていくと 「正方形がつながったものをポリオミノ(polyomino)と呼び、正三角形がつながったものをポリアモンド(polyamond)と呼びます。」 とある。
これから先は Polyomino, polyhex and polyiamond tiling などの英語のページが現れて、私には手に負えないことが分かった。しかし「ポリアモンドに関しては、三角形7枚のもの(ヘプタモンド)には唯一タイリング不可能のものがあるようで、」という記述があるのでそれを除くとタイリングが可能であるらしい。ここでは平面充填のことをタイリングといっている。
だが、次の記述を見ると、有機化学、化合物命名法などの分野での研究では、「三角形のポリアモンドの方も9個以上になるとどんどんタイリング不可能なものの数が増えていっています。7個と8個のところで唯一逆転が生じているのが面白いところです。」とあるから、20個になるとタイリングは不可能になるのかもしれない。
ここまで来てみて、化学ワールドの化合物の立体構造の研究が、立体、展開図、平面充填を扱っているらしいということが分かってきた。これから先は、化学ワールドのタームなどが必要になってくると思うので、準備をしながらゆっくり探索を続けていきたいと思う。

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