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2004.06.17

ポリオミノの中のドミノとポリアモンドとフラストレーション

040615_1226.JPG

初めて知った ポリオミノのページ を見ていたら、この中でよく知られているのがドミノであるとあった。正方形をつなげた図形をポリオミノというから、正方形が二つのものはドミノというのである。

四角形が「ミノ」だとすると、アモンドは「三角形」かもしれない。「アモンド」で検索してもヒットしない。そこで更に「三角形」を加えて絞り込み、7つヒットしたうちのひとつを見てみると、 金属錯体分子がつくる結晶の 磁化率 の物語 で、私には極めて難しい話であるが、「磁気的フラストレーション」と言う記述に目が留まってしまった。
そこに三角形と四面体の図があったからである。記述されていることは、結晶構造上でどの隣接分子間でもスピンが逆向きになるようにできれば,それが最も安定な状態であるが、三角格子では隣接分子のスピンの向きをすべて逆向きにするのは不可能であるから何らかの妥協が強いられ.欲求不満が残ってしまうというわけで,この状況をフラストレーションと呼んでいる、とあった。
「三角格子」というのも見るのは初めてのような気がしが、それはうろこ模様であった。そして正方格子と比較してスピンの向きの状態が描かれているのを見ると、三角格子では確かに隣り合う格子点のスピンの全てを逆にすることは不可能である。私は四面体が三次元世界で最も安定していると単純に考えていたが、三角格子では不安定であるというこのことはかなり根源的なことであると感じた。
更に見ていくと、スピンが安定する状態エネルギーは逆向き180度だと最も安定するのだが、三角格子の場合には隣接分子のスピンが互いに120度の角度を持つようになれば、全体のエネルギーが最も低くなることが知られている、とある。つまり全て120度にすることで妥協してしまうということらしい。量子スピン形の非常に難しい話である。
思うにこのことは、正方格子では逆向き180度で安定するが、三角格子の場合には逆向き120度で妥協的に安定するということなら、360度に関して正方形ではその2分の1であり、三角形ではその3分の1となり、格子の形にスピンの向きの位相が随伴して安定するということになるのではないだろうか。
このように位相によって、三すくみ、三角関係、三つどもえ、という困難な事態も、三位一体、三国同盟、三本の矢(毛利元就)、という特に問題の起きない事態にもなる、ということを知った。
今日はここまで。

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