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2004.06.19

平面充填形と空間充填形と正三角形と正四面体と正八面体

040617_1403.JPG

正多面形のなかで平面充填形は正三角形、正方形、正六角形の3つだけであることはよく知られているが、正多面体の中ではどうであろうか。プラトン多面体の中では唯一、正六面体だけが単独で空間充填することができるという。2種類の正多面体を使うなら、正四面体と正八面体を組み合わせれば空間充填することが出きるという。

更に空間充填多面体を探してみると、単独で充填できるものは正六面体の他に準正多面体の切頭八面体、平行六面体、菱形十二面体に加えて、最近発見された 2種類の黄金菱面体 があるという。
なお、1種類の凸多面体の非周期的な空間充填形として、1993年英国のコンウエイによって発見された 「二重プリズム」 という多面体があるというが、難しくて私には分からない。
更に正多角形ではない多角形による平面充填形は、五角形が14種類、ベンローズタイルと呼ばれる2種類の菱形があるという。また1種類だけで平面全体を非周期的に埋めつくすことのできる図形は未だ発見されていないという。
ここで改めて考えてみたい。空間充填に関して、正四面体と正八面体の組み合わせで出きるということ、そのことを具体的に調べてみたい。また平面充填に関しては、正三角形のひとつながりで充填する場合に、その形とひとつながりの数が幾つまで出きるか、具体的に調べてみたい。
空間充填されている正四面体と正八面体の空間に、基準面を定めてその面に平行にスライスしてみたい。そのとき全てのスライス画面において、そこに現れる多角形の図は平面充填されている図形である筈である。どのような図形がそこに現れてくるだろうか。私には未だ想像すらつかないのである。
今日はここまで。

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